Le Paradoxe des Anniversaires : Une Coïncidence Surprenante

Voilà une estimation mathématique qui va à l'encontre de notre intuition. Spontanément, puisqu'il y a 365 jours dans l'année, on pourrait imaginer qu'un tel groupe devrait être composé de (365/2), soit 180 personnes environ au minimum. Pourtant, il en faut beaucoup moins ! Il suffit de seulement 23 élèves d'une classe pour qu'on ait au moins une chance sur deux de réunir deux personnes nées le même jour ! D'autant que, si l'on considère que les naissances ne sont pas également réparties tout au long de l'année, réunir une vingtaine d'élèves devrait suffire.

La Probabilité Surprenante de Partager un Anniversaire

Dans une classe, quelle est la probabilité pour que 2 élèves fêtent leurs anniversaires le même jour? Il ne faut donc que 23 personnes pour qu'il y ait plus d'une chance sur 2 pour que 2 personnes aient leur anniversaire le même jour, contrairement à ce que l'intuition laisse présumer. A partir de 50 personnes, il n'y a que 3% de chances que tous les anniversaires diffèrent!

Ce « paradoxe des anniversaires » a été démontré par l'ingénieur autrichien Richard von Mises. La règle de base à connaître pour comprendre cette « coïncidence » est celle du calcul des probabilités que deux « événements indépendants » se produisent en même temps : il faut multiplier la première probabilité par la seconde. Par exemple, la probabilité de lancer deux pièces et que les deux tombent sur « pile » est de : (1/2) x (1/2)= 1/4, soit une chance sur quatre. Il en va de même avec les anniversaires.

Calcul de la Probabilité

Prenons donc le problème à l'envers et calculons la probabilité que tous les enfants d'une classe soient nés des jours différents, en omettant l'existence des années bissextiles. Si la classe n'a que 2 élèves, le second a 364 chances sur 365 d'être né à une date différente du premier : la probabilité qu'ils soient nés des jours différents est ainsi de 364/365. Si un troisième élève les rejoint, il ne reste plus que 363 possibilités pour ce dernier d'avoir une date de naissance différente de celles de ses deux camarades.

Si un quatrième enfant arrive, celui-ci n'a plus que 362 dates « libres » possibles. Pour que toutes ces conditions surviennent en même temps, c'est-à-dire pour que les deux premiers aient des anniversaires différents entre eux, mais aussi différents des suivants, il faut multiplier ces probabilités entre elles.

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Et pour que le produit de toutes ces probabilités soit égal à 50 %, il faut aller jusqu'au 23e élève, soit : (364/365) x (363/365) x (362/365)… x (343/365) = 0,49 = 49 %. Dans une classe de 23 élèves, il y a donc 49 % de probabilités pour qu'aucun enfant n'ait la même date de naissance ; soit 51 % de probabilités que deux élèves soient nés le même jour.

Tableau Récapitulatif des Probabilités

Ce tableau illustre comment la probabilité d'avoir au moins deux personnes partageant le même anniversaire augmente avec la taille du groupe :

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