Comment Calculer la Moyenne : Formules et Exemples

Les calculs de moyennes relèvent du domaine de la statistique. Mais le terme de moyenne appartient aussi à notre vocabulaire courant : salaire moyen, note moyenne... La moyenne est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série.

A - La moyenne d'une série de valeurs

Pour calculer la moyenne d’un ensemble de valeurs, on divise la somme des valeurs par le nombre de valeurs. Cette moyenne est appelée moyenne arithmétique. Dans une moyenne simple, appelée aussi moyenne arithmétique, toutes les valeurs ont le même poids.

Pour calculer une moyenne simple, il faut d’abord additionner toutes les valeurs entre elles puis diviser le résultat par le nombre total de valeurs, ou effectif total.

Formule :

Moyenne simple = (valeur₁ + valeur₂ + ... + valeur_n) / n

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Exemple

Voici les temps (en secondes) mis par des coureurs du 400 m au cours d’un championnat : 50,45 ; 49,30 ; 52,60 ; 53,28 ; 51 ; 52,20 ; 51,82 ; 50.

Il y a 8 valeurs dans la série. Le temps moyen, en secondes, est : (50,45+49,30+52,60+53,28+51+52,20+51,82+50) / 8 = 410,65 / 8 ≈ 51,33 s (au centième près).

La plus petite valeur est 49,30 ; la plus grande est 53,28. La moyenne 51,33 est comprise entre 49,30 et 53,28.

B - La moyenne pondérée

Dans une série de valeurs, certains termes peuvent être égaux. Dans le calcul de la moyenne, il est alors plus rapide pour calculer la somme des valeurs de multiplier chaque valeur par l’effectif correspondant et d’ajouter les produits obtenus.

Dans une moyenne pondérée, certaines valeurs ont plus d’importance que d’autres. C’est typiquement le cas des notes au brevet ou au bac par exemple. Chaque matière aura un coefficient de pondération. Un coefficient, c’est le nombre de fois qu’une note compte.

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Plus le coefficient est élevé, plus il aura un impact sur la moyenne. Pour calculer une moyenne pondérée, vous devrez d’abord multiplier la valeur par son coefficient, puis additionner les différents résultats obtenus que vous diviserez enfin par la somme des coefficients.

Formule :

Moyenne pondérée = (valeur₁ × coef₁ + valeur₂ × coef₂ + ... + valeur_n × coef_n) / (coef₁ + coef₂ + ... + coef_n)

Exemples

Voici la série des notes obtenues par les 20 élèves d’une classe de 3e à une évaluation : 10 ; 15 ; 7 ; 10 ; 12 ; 12 ; 7 ; 9 ; 13 ; 10 ; 7 ; 10 ; 10 ; 12 ; 9 ; 12 ; 10 ; 10 ; 15 ; 12.

On voit que :

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• la note 7 a été obtenue 3 fois ;
• la note 9 a été obtenue 2 fois ;
• la note 10 a été obtenue 7 fois ;
• la note 12 a été obtenue 5 fois ;
• la note 13 a été obtenue 1 fois ;
• la note 15 a été obtenue 2 fois.

La note moyenne est : (7 × 3 + 9 × 2 + 10 × 7 + 12 × 5 + 13 × 1 + 15 × 2) / 20 = 212 / 20 = 10,6.

On dit que c’est la moyenne pondérée par les effectifs.

À un examen, Guy a obtenu : 10 en français (coefficient 2), 15 en mathématiques (coefficient 3) et 7 en anglais (coefficient 1). La moyenne des notes pondérée par les coefficients est : (10 × 2 + 15 × 3 + 7 × 1 ) / (2 + 3 + 1) = 72 / 6 = 12.

C - La moyenne de moyennes

Si deux séries, de moyenne respective m1 et m2, ont le même nombre de termes, alors la moyenne de l’ensemble des termes des deux séries est la moyenne de m1 et m2.

Exemple

Au premier trimestre, Louis a fait 4 devoirs de mathématiques et a obtenu 12,6 de moyenne. Au deuxième trimestre, il a fait également 4 devoirs de mathématiques et a eu 11 de moyenne. Sa moyenne sur l’ensemble des devoirs des 2 trimestres est : (12,6 + 11) / 2 = 11,8.

Mais, attention, cette propriété est fausse si les deux séries n’ont pas le même nombre de termes.

Exercices et Corrigés

Voici quelques exercices pour vous entraîner au calcul de moyenne:

Calculs de moyenne

1. Du 1er au 10 avril, Sarah relève les hauteurs de pluie tombée chaque jour : 5 mm, 7 mm, 6 mm, 0 mm, 1 mm, 0 mm, 8 mm, 10 mm, 7 mm, 5 mm. Calculer la moyenne journalière de hauteur de pluie.
2. Soit un échantillon de 100 tôles dont on a chronométré le temps de perçage. On a obtenu les résultats suivants :
   • 2 tôles percées en 2 secondes
   • 21 tôles percées en 3 secondes
   • 32 tôles percées en 4 secondes
   • 16 tôles percées en 5 secondes
   • 17 tôles percées en 6 secondes
   • 4 tôles percées en 7 secondes
   • 8 tôles percées en 8 secondes
   1. Calculer, en secondes, le temps total de perçage des 100 tôles.
   2. Calculer, en secondes, le temps moyen de perçage.
3. Dans une salle, 9 personnes sont assises ; leur âge moyen est 25 ans. Dans une autre salle, 11 personnes sont réunies ; leur âge moyen est 45 ans. On rassemble les 2 groupes de personnes. Quel est l’âge moyen du groupe ainsi constitué ?
4. Un collège a 4 classes de 6e : A, B, C et D. Les tableaux ci-dessous donnent les notes sur 10 à un devoir commun :
   • Classe A (30 élèves) : 3 élèves ont eu 2/10, 9 élèves ont eu 5/10, 12 élèves ont eu 7/10, 6 élèves ont eu 10/10
   • Classe B (18 élèves) : Notes non précisées, moyenne à calculer
   • Classe C (20 élèves) : Notes non précisées, moyenne à calculer
   • Classe D (24 élèves) : Notes non précisées, moyenne à calculer
   1. Calculer la moyenne de chaque classe à ce devoir.
   2. Calculer la moyenne de l’ensemble des élèves de 6e.

Utilisation de la moyenne

1. Un marchand d’art met en vente 5 statuettes différentes. Le prix moyen de ces 5 statuettes est de 50 €. Il vend la plus jolie à un collectionneur. Le prix moyen des 4 statuettes restantes est de 40 €. Combien valait la statuette vendue ?
2. Agnès a eu 12 et 7 aux deux devoirs écrits d’anglais de coefficient 2. Elle a eu 14 et 17 aux tests oraux de coefficient 1.
   1. Calculer sa moyenne.
   2. Quelle note devra-t-elle avoir au prochain devoir de coefficient 2 pour obtenir 12 de moyenne ?

Corrigé

Calculs de moyenne

1. Hauteur moyenne : (5 + 7 + 6 + 0 + 1 + 0 + 8 + 10 + 7 + 5) / 10 = 49 / 10 = 4,9 mm.
2. 1. 2 × 7 + 3 × 21 + 4 × 32 + 5 × 16 + 6 × 17 + 7 × 4 + 8 × 3 = 439. Le temps total de perçage des 100 tôles est 439 secondes.
   2. On divise le temps total par le nombre de tôles : 439 / 100 = 4,39. Le temps moyen de perçage est 4,39 secondes.
3. 9 + 11 = 20. Le nombre de personnes dans le nouveau groupe est 20. 25 × 9 + 45 × 11 = 720. La somme des âges est 720 ans. 720 / 20 = 36. L’âge moyen du nouveau groupe est 36 ans.
4. 1. Moyenne de la classe A (30 élèves) : (2×3+5×9+7×12+10×6) / 30 = 6,5 ; moyenne de la classe B (18 élèves) : 6 ; moyenne de la classe C (20 élèves) : 4,5 ; moyenne de la classe D (24 élèves) : 5,75.
   2. Moyenne de l’ensemble des sixièmes : (6,5×30+6×18+4,5×20+5,75×24) / (30 + 18 + 20 + 24) ≈ 5,77.

Utilisation de la moyenne

1. Prix total des 5 statuettes : 50 × 5 = 250 €. Prix des 4 statuettes restantes : 40 × 4 = 160 €. Prix de la statuette vendue : 250 − 160 = 90 €.
2. 1. Moyenne : (12 × 2 + 7 × 2 + 14 + 17) ÷ 6 = 11,5.
   2. ...

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